CURSO DE MATEMÁTICAS: Un problema de números y divisibilidad

sábado, 1 de mayo de 2021

Un problema de números y divisibilidad

Problema:

Si llamamos p a un número entero positivo y primo mayor que 3, demostrar que el número

p2 – 1 es un entero múltiplo de (o divisible por) 12.

Solución:

Para empezar, p es impar, luego tendremos que p - 1 y  p + 1 son pares. De modo que 

 p2 – 1=(p-1)(p+1) es múltiplo de 4. Ahora solo falta probar que p2 – 1 es divisible por 3 y como el mcm de 3 y 4 es 12, ya estaría todo.

Bien, tenemos dos casos posibles:

  •      Supongamos que p da resto 1 cuando se divide por 3, esto es que p es de la forma p=1+3k (con k entero positivo). Entonces, también tendremos que p2 da resto 1 cuando se divide por 3. De esto último se sigue que p2 – 1 es divisible por 3.
  •        En segundo y último caso posible, supongamos que p da resto 2 cuando se divide por 3. Entonces p es de la forma p=2+3k, de modo que p2 = 4 + 12k+9k2=1 + 3(1+4k+3k2)=1 + 3m. Y de esta forma, nuevamente resulta p2 – 1 divisible por 3.

QED.

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