Problemas de Divisibilidad

En esta entrada publico un sencillo problemita de aplicación del máximo común divisor. Como para el nivel de segundo y/o tercero de ESO. Espero que se comprenda bien.

Problema.

Queremos empaquetar una serie de caramelos en bolsas de papel. En cada bolsa vamos a mezclar caramelos de los tres siguientes sabores: 120 de limón, 200 de menta y 180 de sabor a fresa. ¿Cuál es el número máximo de bolsas que podemos rellenar?¿Cuántos caramelos de cada sabor contendría cada bolsa?

Solución.

Vamos a llamar N al número de bolsas de papel. Y vamos a llamar x, y , z al número de caramelos de limón, menta y fresa respectivamente que entran en cada bolsa. Entonces se cumple que:

N·x=120;            N·y=200;            N·z=180

Es decir, que N es factor de las tres cantidades de caramelos de distinto sabor. Como N debe ser el número más grande posible, entonces estamos hablando del máximo común divisor. Y este número nos da la solución del problema.

Calculando, se tiene:

De manera que 

Hay que recordar que el máximo común divisor se calcula como el producto de los factores primos comunes elevados al mínimo exponente posible.

Así que el número máximo de bolsas de papel a rellenar de caramelos con los tres sabores es de N=20 bolsas. En cada una de ellas hay que meter: 6 caramelos de limón, 10 de menta y 9 de fresa (en total 25 caramelos en cada paquete – hay 500 caramelos en total).