Jugando con cuadrados

Tomamos dos cuadrados de lado a y los hacemos girar sobre su centro 45º uno respecto del otro hasta formar un octágono regular como se aprecia en la figura.
El problema consiste en hallar el área de dicho octógono, que en la figura viene rellenado en color amarillo. ¿Y, cuánto vale el área de la estrella de ocho puntas?

Introducimos las variables x, y como se aprecian en la figura. Donde x es el segmento PQ.
Entonces, llamando A al área del octógono y S a la superficie de uno de los ocho picos iguales. Tendremos las siguientes relaciones:

Y a partir de estas relaciones, podemos ya resolver el problema:

Primero resolvemos la ecuación de segundo grado que corresponde para hallar el valor de y

Obviamente, el valor admisible de y es 

Y la solución final  

Esto es todo.