PROBLEMAS DE NÚMEROS DIFÍCILES

Introducción. 

Lo que sigue son una serie de problemas de aritmética básica que no se suelen contar en un curso de matemáticas escolares, es decir en enseñanza secundaria, porque son muy difíciles de manera que es conveniente no tratarlos en las clases si es que uno, como profesor, quiere llevarse bien con el personal, sean jóvenes o adultos, si no enseguida se te echan al cuello. A la gente ya le cuesta mucho entender los problemas facilitos como para plantearles un pequeño reto. De manera que hay cosas interesantes que se quedan en el tintero.

Problema 1.

Un grifo es capaz de llenar una cisterna de agua en 2 h y cuarto, en tanto que un segundo grifo debe emplear 4 h para llenar la misma cisterna. Supongamos que tenemos los dos abiertos a la vez, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito de agua? 

Solución. 

Sea T el número de horas que se invierten en llenar la cisterna. Entonces la cisterna se llena a razón de 1/T parte por cada hora, donde

 i.e.

 Entonces la solución es T=1 h 26 min 24 seg.

Problema 2. 

Un pintor tarda 3 h en pintar una casa trabajando solo. A veces trabaja con la ayuda de su hijo, con el cual puede acabar la tarea en una hora y tres cuartos. ¿Sabrías hallar cuánto tiempo puede tardar el hijo en realizar la misma tarea trabajando solo?

Solución. 

Sea T el tiempo que emplearía el chico trabajando solo por su cuenta. Entonces, aplicando el mismo principio del problema precedente.  

Problema 3. 

Dos atletas forman parte de una carrera en una pista cerrada. El primer atleta es capaz de completar una vuelta al circuito en 3 minutos en tanto que el segundo completa una vuelta cada 5 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará el primer atleta en "doblar'' al segundo? 

Solución. 

Sea T el tiempo, en minutos, que ha de emplear el primer atleta en doblar al segundo corredor. Entonces por cada minuto que pasa la fracción de vuelta que se recorta es 

Puesto que T es el tiempo necesario para sacar justo una vuelta de ventaja al segundo atleta. 

Problema 4. En la fuente de un parque hay dos caños que llenan el estanque de manera que uno de ellos puede llenarlo en 45 minutos en tanto que el otro podría llenarlo en una hora y cuarto. Pero resulta que mientras tanto la fuente tiene abierto un sumidero. Sabiendo que el sumidero puede vaciar el estanque en media hora, calcular cuánto tiempo se invierte en llenar el estanque con los dos caños y el sumidero abiertos. 

Solución. 

Llamando T al número de horas empleadas para llenar el estanque, entonces tenemos 

Problema 5. 

Un grupo de 40 obreros es capaz de realizar un trabajo en 25 días. Sabemos que un segundo grupo formado por 60 obreros realizó un trabajo similar en 20 días. Una empresa forma un nuevo grupo de trabajadores compuesto de los 3/4 del primer grupo más los 2/3 del segundo para realizar una obra igual a las anteriores. ¿Cuánto tiempo tardará este nuevo grupo en completar los trabajos?

Solución. 

Primero hagamos una pequeña abstracción. Suponiendo que todo el trabajo tuviera que hacerlo un único obrero del primer grupo, éste habría de emplear un total de 40•25=1000 días de trabajo. En cambio para un trabajador del segundo grupo este número es 60•20=1200 días. Siguiendo la misma idea en la resolución de los problemas anteriores, si T es el número de días empleados por el grupo de obreros nuevo, entonces estos trabajaran a un ritmo o razón de 1/T por cada día. Ahora bien, como son 30 obreros del grupo 1º y 40 del segundo, entonces

Y por lo tanto 

Problema 6. 

Un galgo intenta dar caza a una liebre que le lleva 30 saltos de ventaja. Se sabe que dos saltos del galgo tienen la misma longitud que tres de la liebre. Además el galgo puede dar tres saltos en el mismo tiempo que la liebre da cuatro. Calcular cuántos saltos tiene que dar el galgo para poder atrapar a la liebre. 

Solución. 

El galgo necesita dar 180 saltos. El razonamiento aplicado es el siguiente. Cada salto del galgo, en adelante paso G, equivale a 3/2 de un salto de liebre, en adelante salto L. Es decir, un salto G tiene la misma longitud que 3/2 salto L. En consecuencia, en el mismo tiempo (en adelante unidad de tiempo, u.t. ) que el galgo hace 3•3/2 = 9/2 de saltos L, la liebre hace 4. La diferencia es de ½ salto L a favor del galgo. Éste ha de emplear 30:1/2 = 60 u.t. en salvar la ventaja que le lleva la liebre. Por lo tanto el galgo tendría que dar 60•3=180 saltos porque da tres saltos en cada unidad de tiempo.