RADICALES

Definición: Un número b es raíz de índice n, o raíz n-ésima, del número a si resulta que bⁿ = a. Más concretamente, escribimos simbólicamente, 

siendo a (el número bajo el signo de la raíz ) el radicando.

Ejemplos:

1. En el caso de la raíces de índice dos, hablamos de raíces cuadradas y escribimos , es decir, no se indica el índice 2. Por ejemplo 8 es la raíz cuadrada de 64, El alumno ya debe conocer las raíces cuadradas de cursos pasados. Los números cuadrados perfectos son aquellos que tienen una raíz cuadrada entera, por ejemplo:
   

   

   
   
2. Raíces cúbicas. Son las raíces de índice 3, por ejemplo la raíz cúbica de 27 es 3; en efecto, porque 3³ = 27. Escribiremos
   

   

   
   Otras raíces cúbicas son
   

   

   
   
3. Números irracionales cuadráticos. Cuando un número entero positivo no es un cuadrado perfecto, su raíz cuadrada da lugar a lo que llamamos un número irracional cuadrático. Un número irracional es aquel que se tiene que escribir con infinitas cifras decimales no periódicas. El primer ejemplo de estos números es
   

   

   
   
4. Observación: Tenéis que ver como las raíces cúbicas son inferiores a las raíces cuadradas cuando el radicando es mayor que 1; es decir, si a > 1 tendremos que
   

   

   Esto es cierto en general, 
   

   Por otro lado, cuando el radicando es un número positivo menor que 1, es decir 0 < a < 1, resulta que
   

   

   
   
5. Raíces de índice par. Las raíces de índice par son las raíces cuartas, sextas, octavas, etc... Por ejemplo:
   

   

   
   

Observaciones:

Cálculo de raíces. Por lo general recurriremos al uso de la calculadora para el cálculo de potencias y raíces, aproximando los números exactos mediante el redondeo. Otras veces pediré que el cálculo se realice mentalmente.
Ejercicio: Usar la calculadora para obtener las raíces del ejemplo 5, redondeando a las milésimas.
Radicando negativo. Cuando el radicando es negativo si el índice de la raíz es par entonces no existe este número porque toda potencia de exponente par es positiva, aplicando la regla de los signos. Por ejemplo, no existen las raíces


En cambio para radicales de índice impar tenemos, por ejemplo:




Propiedades aritméticas de las raíces.

R1. Producto de radicales del mismo índice.




R2. Cociente de radicales del mismo índice.

Raíz de un número racional. Cuando tenemos una fracción, con numerador y denominador enteros positivos, su raíz es


R3. Raíz de una raíz. Aplicando esta regla, al calcular la raíz m-ésima de otra raíz n-ésima tenemos que multiplicar los índices de las raíces.




R4. Potencia de una raíz. La potencia de exponente m de la raíz n-ésima de radicando a se puede expresar como




Extracción de factores de un radical. Los radicales se pueden reducir o simplificar por el procedimiento de extraer factores, veremos esto con el siguiente ejemplo:
Reducir todo lo que se pueda el radical




Tenemos que dividir cada exponente de los factores por el índice de la raíz que es 2.
5:2 = 2 y resto 1;
2:2 = 1 y resto 0;
3:2 = 1 y resto 1;
Entonces




Inclusión de factores en un radical.
Para introducir factores dentro de un radical, tenemos que elevar cada factor al índice de la raíz.
Veamos esto con un ejemplo:
Expresar como un radical




Lo que hacemos es elevar al Lo que hacemos es elevar al cuadrado 2³ y solo entonces introducir este número en el radical:

Reducción de expresiones que contienen radicales

Cuando tenemos varios radicales en una expresión aritmética, a veces ésta se puede reducir a una más simple que contenga un sólo radical. Veamos esto con un ejemplo

Reducir o simplificar la expresión

aquí hemos aplicado la técnica de extraer factores de los radicales y en la última resta la propiedad distributiva.

Ejercicios.


1.   Escribe como un solo radical

2.   Calcula mentalmente, sin usar la calculadora, los siguientes radicales

3.    Extrae de los siguientes radicales todos los factores que puedas

4.    Reduce la siguiente expresión a un solo radical