PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

Razón entre dos cantidades.

Por razón entre dos números fijos o dos variables se entiende el cociente entre ambas. Por ejemplo si de 40 alumnos que se presentan al examen para el permiso de conducir aprueban 30, entonces la razón de los aprobados es de 30 sobre 40, 30/40 o 3/4 o 3 de cada 4, o de 0,75 por 1 o del 75%. Una razón o ratio también suele expresarse como un tanto por ciento. Para calcular una razón como porcentanje, hacemos

Entonces diremos que aprueban el 75% de los aspirantes que se presentan al examen del permiso de conducir.

Proporción.

Por proporción entenderemos cualquier igualdad de razones, es decir una proporción es

Los números a y d reciben el nombre de extremos de la proporción. Los números b y c reciben el nombre de medios de la proporción.

La igualdad de dos razones equivale a que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Es decir

Propiedades de las proporciones.

En una proporción

Los números a₁, a₂, a₃,... se llaman antecedentes de la proporción y los números b₁, b₂, b₃,... reciben el nombre de consecuentes de la proporción.

Haré mención aquí de dos propiedades básicas de toda proporción.

La primera de las propiedades de las que ahora escribo dice que la suma de antecedentes está en la misma proporción que la suma de los consecuentes. Es decir

La segunda de las propiedades dice que la diferencia de los antecedentes está en la misma proporción que la diferencia de los consecuentes.

Estas propiedades serán útiles en la resolución de problemas de proporionalidad y de repartos proporcionales.

Magnitudes.

Entendemos por magnitud propiedad o característica que poseen los cuerpos físicos, los fenómemos o las relaciones entre ellos, y que permite que puedan ser medidos. Dicha medida, representada por una cantidad, puede ser expresada mediante números basándose en la comparación con otro cuerpo o fenómeno que se toma como patrón. La superficie, el volumen, la velocidad, la temperatura, entre muchas otras, son magnitudes.

Entre las relaciones matemáticas más básicas que se producen entre las magnitudes, tenemos las relaciones de proporcionalidad que puede ser directa o inversa.

Proporcionalidad directa.

Sean dos magnitudes A y B con medidas respectivas a₁, a₂, a₃,...,a_n que representan cantidades de la magnitud A y cantidades b₁, b₂, b₃,...,b_n para la magnitud B. Diremos que A y B son directamente proporcionales o están en una relación de proporcionalidad directa si

es decir, si las cantidades respectivas estan en una proporción, el número r recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

Esto también es equivalene a lo siguiente: si a es una medida de la magnitud A en correspondencia con la cantidad b de la magnitud B; entonces A y B son directamente proporcionales si a 2a (el doble de a)de le corresponde 2b, si a 3a (el triple de a) le corresponde 3b, etc.

Todo esto se ve más claro con ejemplos:

Ejemplo 1.

El movimiento que describe un ciclista relaciona dos variables, la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla. Se han tomado las siguientes medidas expresadas en la siguiente tabla

Espacio(km)	10	20	25	60	80
Tiempo (min)	30	60			240

¿Qué tiempo corresponde a la distancia de 60 km?,¿y que tiempo emplea en recorrer 25 km? ¿Qué distancia recorre el ciclista por cada unidad de tiempo? (esto es la velocidad del ciclista). Si medimos el tiempo en horas, cuál sería la velodidad del ciclista.

Ejemplo 2.

Hemos ido al mercado a comprar verduras y nos hemos encontrado con la siguiente tabla de precios para las patatas medidas en kg y sus precios medidos en euros.

Precio (€)	5	7	10	12	15	30
Patatas (kg)	2,5		5	5,4	7,5

¿Son directamente proporcionales el precio y la cantidad de patatas? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?¿Qué precio corresponde a 7 kg de patatas? ¿y a 30 kg? ¿Cuál es el precio unitario, es decir por 1kg, de patatas?

Regla de tres directa.

Es un método para resolver problemas donde tenemos una relación de proporcionalidad directa. Veremos esto con un ejemplo:

Con 5 euros, Jaime compró 20 kg de tomates. ¿Cuánto dinero le haría falta para comprar 30 kg?

El problema se resuelve teniendo en cuenta que la relación entre el dinero gastado y la cantidad de tomates es de proporcionalidad directa. Es decir la razón entre los precios es a la razón entre la cantidad de tomates. Una manera de resolver el problema es plantear el esquema

precio (euros)              tomates (kg)

       5                               20

       x                               30

Formamos la proporción

Para calcular el medio x recurrimos a la igualdad de productos cruzados en la proporción anterior

Otra forma de resolver el problema es por el método de reducción a la unidad, es decir primero calculamos el precio unitario de un kilo de tomates, a saber 5/20 = 0,25 € y despues calculamos el precio de los 30 kg de tomates, x = 30 · 0,25 = 7,50 €.

Proporcionalidad inversa.

Sean a₁, a₂, a₃,...,a_n cantidades de una magnitud A y b₁, b₂, b₃,...,b_n cantidades de una magnitud B. Las magnitudes A y B estan en una relación de proporcionalidad inversa si el producto de las cantidades correspondientes es constante, es decir

el número k es la constante de proporcionalidad. Todo esto significa que las medidas de la magnitud A son directamente proporcionales a los inversos de las medidas de la magnitud B. En efecto

es justamente lo mismo que en la expresión anterior.

Si dos magnitudes A y B tienen medidas a y b respectivamente, entonces A y B son inversamente proporcionales si al doble de a, 2a, le corresponde la mitad de b, b/2, al triple de a le corresponde un tercio de b, a cuatro veces a le corresponde un cuarto de b, etc.

Mejor lo veremos con unos ejemplos.

Ejemplo 1

Supongamos que medimos los tiempos que realiza un tren en un recorrido dado, por ejemplo de Madrid a Valencia, a diferentes velocidades. Obtenemos la siguiente tabla

Tiempo (h)	5	3	2,5	2		1
Velocidad (Km/h)	84		168		336	420

¿Cuál es la constante de proporcionalidad k?¿Qué tiempo corresponde a la velocidad de 336 km/h? ¿qué velocidad corresponde a un tiempo de 2 horas? ¿y a un tiempo de 3 horas?

Ejemplo 2

Un ganadero tiene una granja con vacas, dependiendo del número de vacas que tenga que alimentar el alimento le dura más o menos, según se puede ver en la tabla siguiente

Número de días	30	20	10	5	1
Número de vacas	16		48	96

¿Cuántas vacas se podrían alimentar en un solo día? ¿y en 20 días?

Regla de tres inversa.

Se trata de un método para resolver problemas donde las variables se relacionan por una proporción inversa. Veamos esto con un ejemplo:

Seis obreros consiguen reponer el estado de una carretera en 20 días de trabajo. Si empleáramos a 4 obreros más, ¿en cuánto tiempo estaría completado el trabajo?

Este problema se resuelve teniendo en cuenta que el número de obreros y la duración del trabajo son inversamente proporcionales. Planteamos el siguiente esquema:

Número de obreros         Número de días

            6                                20

           10                                x

Entonces la relación entre el número de obreros es a la razón inversa entre el número de días. De este modo

Porcentajes

Un tanto por ciento no es más que una razón de la forma a/100. Por ejemplo, si 40 personas de entre 200 seleccionadas superan un test determinado, entonces la razón es de

pero en lugar de escribir 20/100 o 20 de cada 100, escribiremos 20%, el 20 por ciento.

Sabiendo que el 30% de las personas de una ciudad de 30.000 habitantes leen el periódico "La Bola". ¿Cuántas personas leen este periódico?

No hay más que calcular 30% de 30.000 = 30·30.000/100 = 9.000 personas.

En la compra de un traje de 78 € nos hacen un descuento del 20%, ¿qué cantidad nos han descontado?

Solución: 20% de 78 = 20·78/100 = 0,20·78 = 15,60 € .

Por la compra de un mueble tenemos que pagar un 18% de IVA, sabiendo que el IVA que pagamos es de 63 €. ¿Cuál es el precio total del mueble, incluyendo el IVA?

Solución: Sea x el precio total del mueble, incluido el IVA. Entonces tenemos la proporción

Sabiendo que 1.500 es el 15% del precio de un automóvil. ¿Cuál es el precio total de este coche?

Llamemos x a dicho precio total, entonces tendremos la proporción

Aumentos y disminuciones porcentuales.

Supongamos que el año pasado hubo 1200 accidentes de tráfico y que este año la cifra ha aumentado un 12% respecto del año anterior, ¿cuál es el número de accidentes de este año?

Llamemos n a este número de accidentes. Podemos razonar del siguiente modo: si el 100% corresponde a 1200 accidentes, un 15% añadido nos dará un porcentaje total del 115%, esto significa que la cantidad final es el 115% de la cantidad inicial; con lo cual tenemos que calcular el 115% de 1200. De este modo n = 115% de 1.200 = 1.200·115/100 = 1.200 · 1,15 = 1.380.

En general, cuando una cantidad C₀ es aumentada en un porcentaje a% tendremos que la cantidad final se calcula como

Sabiendo que tenemos que pagar 720 € en la compra de un televisor con un 18% de IVA, ¿cuál es el precio del televisor descontando el IVA?

Razonamos así: el precio del televisor incluido el IVA será el 118% del precio del precio inicial del televisor, llámese x. Entonces 720 = 118% de x = 1,18 x ; luego x = 720 / 1,18 = 610,17 €

Ojo: el IVA no es el 18% de los 720 euros que costó el televisor.

Siguiendo con el ejemplo de los accidentes de tráfico, supongamos ahora que en este año el número de accidentes de tráfico ha disminuido un 12% respecto del número del año anterior, entonces podemos razonar de la siguiente manera: el número de accidentes de este año es un 12% menos, es decir si el 100% representa el número de accidentes del año pasado, entonces este año tenemos un 88% de esa cifra, que calcularemos así, 88% de 1200 = 88·1200/100 = 0,88·1200 = 1056.

En general, cuando una cantidad C₀ es disminuida en un porcentaje a% tendremos que la cantidad final se calcula como

Supongamos que una camisa cuesta 24 €, con el precio ya rebajado, y se nos ha hecho un descuento del 20 %. ¿Cuál era el precio anterior de la camisa y cuál es el descuento que nos han hecho?

Llamando x al precio original de la camisa, tenemos que 24 = 80% de x = 0,8 · x ; luego

x = 24/0,8= 30 €

El precio inicial de la camisa era de 30 euros y nos han descontado 6 €, que efectivamente es el 20% de 30, como se puede comprobar.