REPARTOS PROPORCIONALES

A continuación vamos a estudiar los problemas de reparto proporcional que pueden ser bien de proporcionalidad directa o bien de proporcionalidad inversa.

Un problema típico de reparto proporcional directo es el de la regla de la compañía donde cabe repartir beneficios entre los socios de la empresa de manera directamente proporcional a la participación de cada uno en el capital de la misma.

En una relación de proporcionalidad directa, donde los números a, b, c son directamente proporcionales a los números a', b', c' sabemos que se cumple la proporción:

Reparto directamente proporcional

Supongamos que tres amigos tienen participaciones de 12, 15 y 24 euros respectivamente en un boleto de un premio de lotería que resulta premiado con 102.000 euros. ¿Cómo deben repartirse el premio de una manera justa?

Mediante un reparto proporcional directo. Es decir, cada una de las cantidades respectivas (que llamaremos x, y , z ) a percibir debe ser directamente proporcional al dinero de la participación. Para ello tenemos la proporción

donde k es la constante de proporcionalidad

Entonces, el dinero recibido por cada participante es de x = 12 ·2.000 = 24.000 €, y = 15·2.000= 30.000 € y por último z = 24 · 2000 = 48.000 € .

Reparto inversamente proporcional

Realizar un reparto de una cantidad N en forma inversamente proporcional a los números a, b, c es hacer un reparto directamente proporcional a los inversos de los números dados a, b, c.

Por ejemplo, un padre reparte una cantidad de 1200 euros entre sus tres hijos de forma inversamente proporcional a sus edades que son respectivamente de 12, 15 y 20 años. Este problema se resuelve del siguiente modo: Sean x, y, z las cantidades respectivas que se llevan cada uno. Como el reparto es inversamente proporcional a 12, 15 y 20 esto significa que debe hacerse un reparto directamente proporcional a los números

Las fracciones anteriores las pasamos a común denominador, a saber mcm(12,15,20)=60 obteniendo

Este problema se transforma entonces en un problema de reparto de la cantidad de 1200 proporcionalmente a los números 5, 4 y 3 (los respectivos numeradores de las fracciones anteriores). La constante de proporcionalidad del reparto es

Por tanto x = 5·100 =500; y = 4·100 = 400; z=3·100 =300. Y estas son las cantidades que cada uno de los hijos recibe de manera inversamente proporcional a su edad.

PROBLEMAS:

1. Tres socios de una empresa tienen invertidas diferentes cantidades de capital en la misma, a saber 12000, 1500 y 21000 euros respectivamente. La compañía facturó unos beneficios de 3.000.000 de euros el año pasado y este año los socios quieren repartirse los beneficios. ¿Qué cantidad debe corresponder a cada uno? (indicación: es mejor considerar las cantidades en miles de euros y hacer el reparto de 3000 directamente proporcional a los números 12, 15 y 21)
2. Tres abogados ganan en un trabajo 6000 euros pero ninguno de los tres ha trabajado lo mismo, el primero trabajó 8 horas, el segundo 12 horas y el último de ellos 20 horas. ¿Cómo deben repartirse los beneficios del trabajo?
3. Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a las edades de cada uno, ¿cuánto aporta cada uno?
4. Reparte el número 1900 de manera inversamente proporcional a los números 3, 5 y 10.