DESCOMPOSICIÓN DE UN POLINOMIO EN FACTORES

TEOREMA DEL RESTO.

Cuando dividimos un polinomio P(x) por el binomio x – a obtenemos un cociente C(x) y un resto R , que es un valor numérico. De manera que

A la vista de esta expresión es fácil ver que cuando x = a, tendremos que el valor numérico del polinomio es P(a)=R. Por ejemplo:

En la división

tendremos que, aplicando el método de Ruffini,

El resto es R=0 y por tanto la división es exacta, tenemos que

Cuando la división es exacta decimos que x – a es un factor del polinomio P(x). En este caso 

x – 1 es un factor irreducible (porque tiene grado 1) de

Cuando para un valor numérico x=a se tiene que el valor numérico del polinomio correspondiente es P(a)=0 entonces diremos que el número a es una raíz del polinomio P(x). En este caso 

x = 1 es raíz de polinomio anterior.

TEOREMA DEL FACTOR.

Si x = a es una raíz del polinomio P(x) entonces x – a es un factor del polinomio P(x). Y recíprocamente si x - a es factor de P(x) entonces x = a es una raíz de este polinomio.

Una estrategia a seguir para encontrar las raíces de un polinomio es descomponerlo en factores. También podemos hallar su descomposición factorial a partir de algunas de sus raíces.

Si un polinomio se descompone como

Está claro que el término independiente tiene que ser

y que los números x = 3, -5, 1 son las raíces del polinomio. ¿Qué significa todo esto? Que las raíces de cualquier polinomio P(x) son divisores del término independiente de P(x) .Veamos con un ejemplo como aplicar toda esta información para obtener la descomposición factorial de un polinomio.

Descomponer en factores irreducibles el polinomio

Las raíces enteras de dicho polinomio tienen que ser divisores del término independiente que es 9. Por tanto probaremos a efectuar la división por un binomio x – a donde a es un divisor del número 9

Probaremos con a=3. Entonces tenemos

Por lo tanto x - 3 es un factor del polinomio P(x) que se descompone como

Pero el cociente que hemos obtenido es un trinomio cuadrático. ¿Se puede descomponer éste a su vez? Tenemos que fijar nuestra atención ahora en los divisores de 3, que es el término independiente del cociente obtenido.

Veamos, probamos a dividir

Entonces

El trinomio cuadrático se descompone como

Y el polinomio P(x) se descompone en factores como

Las raíces del polinomio son los números enteros x = 3, -3 y además el número x= -1/2, que hace 0 al primer factor. Un polinomio de grado n puede tener como máximo n raíces, contando sus multiplicidades. La multiplicidad de un factor es el número de veces que se puede dividir por éste.

EJERCICIOS.

1. Descomponer en factores los siguientes polinomios: