Un problema de números y divisibilidad

Problema:

Si llamamos p a un número entero positivo y primo mayor que 3, demostrar que el número

p² – 1 es un entero múltiplo de (o divisible por) 12.

Solución:

Para empezar, p es impar, luego tendremos que p - 1 y  p + 1 son pares. De modo que 

 p² – 1=(p-1)(p+1) es múltiplo de 4. Ahora solo falta probar que p² – 1 es divisible por 3 y como el mcm de 3 y 4 es 12, ya estaría todo.

Bien, tenemos dos casos posibles:

•      Supongamos que p da resto 1 cuando se divide por 3, esto es que p es de la forma p=1+3k (con k entero positivo). Entonces, también tendremos que p² da resto 1 cuando se divide por 3. De esto último se sigue que p² – 1 es divisible por 3.
•        En segundo y último caso posible, supongamos que p da resto 2 cuando se divide por 3. Entonces p es de la forma p=2+3k, de modo que p² = 4 + 12k+9k²=1 + 3(1+4k+3k²)=1 + 3m. Y de esta forma, nuevamente resulta p² – 1 divisible por 3.

QED.

Problema de los dos cuadrados

 Un cuadrado grande gira sobre otro cuadrado, más pequeño de lado 2 m, teniendo como centro de rotación el centro de este. Calcular el área del cuadrilátero que se forma, de color azul en la figura.

El problema "clásico" de la liebre y el galgo

 PROBLEMA DE LA LIEBRE Y EL GALGO.

Un galgo intenta dar caza a una liebre que le lleva 30 saltos de ventaja, saltos suyos, de liebre. Se sabe que 2 saltos de galgo tienen la misma longitud que 3 saltos de la liebre. Además, la liebre da 4 saltos en el mismo tiempo que el galgo da 3 saltos. ¿Cuántos saltos deberá dar el galgo para cazar a la liebre?

Para resolver este problema no hace falta saber mucho de matemáticas, se resuelve por una regla de tres o por una simple ecuación. La dificultad está en saber plantearlo.

Radio de la circunferencia circunscrita

 En la siguiente entrada voy a desarrollar una fórmula muy sencilla para calcular el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo cualquiera.

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