Un problema de números y divisibilidad

Problema:

Si llamamos p a un número entero positivo y primo mayor que 3, demostrar que el número

p² – 1 es un entero múltiplo de (o divisible por) 12.

Solución:

Para empezar, p es impar, luego tendremos que p - 1 y  p + 1 son pares. De modo que 

 p² – 1=(p-1)(p+1) es múltiplo de 4. Ahora solo falta probar que p² – 1 es divisible por 3 y como el mcm de 3 y 4 es 12, ya estaría todo.

Bien, tenemos dos casos posibles:

•      Supongamos que p da resto 1 cuando se divide por 3, esto es que p es de la forma p=1+3k (con k entero positivo). Entonces, también tendremos que p² da resto 1 cuando se divide por 3. De esto último se sigue que p² – 1 es divisible por 3.
•        En segundo y último caso posible, supongamos que p da resto 2 cuando se divide por 3. Entonces p es de la forma p=2+3k, de modo que p² = 4 + 12k+9k²=1 + 3(1+4k+3k²)=1 + 3m. Y de esta forma, nuevamente resulta p² – 1 divisible por 3.

QED.