El siguiente problema, que me resulta curioso, está extraído de un libro de texto de la editorial ANAYA para Matemáticas Académicas (LOMCE) de 3º de ESO. Está en la línea de los típicos problemas que se clasifican como "problemas de fuentes y obreros". Como suele decirse.... ¡Disfruten!

Fuentes-Obreros-1 by fevil1971

Un problema de números y divisibilidad

Problema:

Si llamamos p a un número entero positivo y primo mayor que 3, demostrar que el número

p² – 1 es un entero múltiplo de (o divisible por) 12.

Solución:

Para empezar, p es impar, luego tendremos que p - 1 y  p + 1 son pares. De modo que 

 p² – 1=(p-1)(p+1) es múltiplo de 4. Ahora solo falta probar que p² – 1 es divisible por 3 y como el mcm de 3 y 4 es 12, ya estaría todo.

Bien, tenemos dos casos posibles:

•      Supongamos que p da resto 1 cuando se divide por 3, esto es que p es de la forma p=1+3k (con k entero positivo). Entonces, también tendremos que p² da resto 1 cuando se divide por 3. De esto último se sigue que p² – 1 es divisible por 3.
•        En segundo y último caso posible, supongamos que p da resto 2 cuando se divide por 3. Entonces p es de la forma p=2+3k, de modo que p² = 4 + 12k+9k²=1 + 3(1+4k+3k²)=1 + 3m. Y de esta forma, nuevamente resulta p² – 1 divisible por 3.

QED.

Problema de los dos cuadrados

 Un cuadrado grande gira sobre otro cuadrado, más pequeño de lado 2 m, teniendo como centro de rotación el centro de este. Calcular el área del cuadrilátero que se forma, de color azul en la figura.

El problema "clásico" de la liebre y el galgo

 PROBLEMA DE LA LIEBRE Y EL GALGO.

Un galgo intenta dar caza a una liebre que le lleva 30 saltos de ventaja, saltos suyos, de liebre. Se sabe que 2 saltos de galgo tienen la misma longitud que 3 saltos de la liebre. Además, la liebre da 4 saltos en el mismo tiempo que el galgo da 3 saltos. ¿Cuántos saltos deberá dar el galgo para cazar a la liebre?

Para resolver este problema no hace falta saber mucho de matemáticas, se resuelve por una regla de tres o por una simple ecuación. La dificultad está en saber plantearlo.

Radio de la circunferencia circunscrita

 En la siguiente entrada voy a desarrollar una fórmula muy sencilla para calcular el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo cualquiera.

Radio del circuncírculo by fvd71 on Scribd

 En esta entrada publico un problema de Geometría elemental que puede ser asequible para alumnos de bachillerato, se requieren conocimientos de Geometría básica de la que se enseña (o debería enseñarse, mejor dicho para ser realistas). Intentad resolverlo primero antes de ver la solución. Hacen falta nociones sobre triángulos, un poquito de trigonometría y por supuesto, álgebra.

El problema es el que podemos ver en la siguiente figura, se pide calcular el área del triángulo equilátero ABC. Los dos círculos que aparecen de radios 2 y 3 son tangentes respectivamente a los triángulos interiores BCD y ABD.

SOLUCIÓN:

Problemas Geometría 2 by fvd71

Problemas de Divisibilidad

En esta entrada publico un sencillo problemita de aplicación del máximo común divisor. Como para el nivel de segundo y/o tercero de ESO. Espero que se comprenda bien.

Problema.

Queremos empaquetar una serie de caramelos en bolsas de papel. En cada bolsa vamos a mezclar caramelos de los tres siguientes sabores: 120 de limón, 200 de menta y 180 de sabor a fresa. ¿Cuál es el número máximo de bolsas que podemos rellenar?¿Cuántos caramelos de cada sabor contendría cada bolsa?

Solución.

Vamos a llamar N al número de bolsas de papel. Y vamos a llamar x, y , z al número de caramelos de limón, menta y fresa respectivamente que entran en cada bolsa. Entonces se cumple que:

N·x=120;            N·y=200;            N·z=180

Es decir, que N es factor de las tres cantidades de caramelos de distinto sabor. Como N debe ser el número más grande posible, entonces estamos hablando del máximo común divisor. Y este número nos da la solución del problema.

Calculando, se tiene:

De manera que 

Hay que recordar que el máximo común divisor se calcula como el producto de los factores primos comunes elevados al mínimo exponente posible.

Así que el número máximo de bolsas de papel a rellenar de caramelos con los tres sabores es de N=20 bolsas. En cada una de ellas hay que meter: 6 caramelos de limón, 10 de menta y 9 de fresa (en total 25 caramelos en cada paquete – hay 500 caramelos en total).