El problema de los dos atletas

Lo que sigue es un problema que bien puede ser resuelto por una técnica que se llama reducción a la unidad. El enunciado es este:

En una pista de atletismo corren dos atletas. El primero completa una vuelta cada 2 minutos y 30 segundos, en tanto que el segundo realiza una vuelta cada 1 minuto y 45 segundos. La cuestión es ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que el segundo atleta sobrepase en una vuelta, esto es que "doble", al primero?

La solución es un tiempo de 5 minutos y 50 segundos.

SOLUCIÓN.

Sea t la cantidad de tiempo necesaria, es decir, la incógnita del problema. Entonces 1/t es la fracción de vuelta por minuto que avanza el segundo atleta sobre el primero. Si t₁ es el tiempo por vuelta del primer corredor y t₂ el tiempo del segundo. Entonces tendremos que

Y por último, haciendo el cálculo resulta

Otro método para resolver este problema es plantearlo del siguiente modo:

Sea t el tiempo requerido como incógnita, sea n el número de vueltas que finalmente realiza el primer atleta antes de que lo sobrepase el segundo de ellos. Sean v₁, v₂ las velocidades respectivas de cada uno de los corredores. Entonces resulta

y entonces