TEOREMA DE THALES.

TEOREMA DE THALES

Teorema 1.

Sean las rectas del plano r, s con intersección en el punto O y sean las rectas paralelas AB y A'B' tal y como se aprecian en la figura (1). Entonces se cumple la proporción

figura 1

Demostración:

En la figura 2, consideremos el triángulo OAB, sea h la altura del vértice A y h' la altura del vértice B. Entonces el área de dicho triángulo es

De donde se deduce que

figura 2

Por otra parte los triángulos AA'B y AB'B tienen la misma área puesto que las rectas AB y A'B' son paralelas, y por tanto separadas por una distancia constante que es la altura de los mencionados triángulos con base AB en común. Entonces los triángulos OBA' y OAB' tienen la misma área, de donde se sigue que

i.e.

y con esto y la proporción (3) entonces se tiene lo que buscábamos

q.e.d.

Ejercicio 1. Probar que la proporción de la figura 1 es equivalente a esta otra:

Teorema 2. Recíproco del teorema 1.

Si en la figura 1 se tiene la proporción (1) entonces las rectas AB y A'B' son paralelas. En efecto, para probar esto podemos proceder como sigue, primero supongamos la igualdad (1). Existe una única recta paralela a la recta AB que pasa por el punto A' y corta a la recta s en un punto B'' , aplicando el teorema anterior tendremos que

pero entonces

y se deduce que la recta A'B' no es otra que la recta paralela a AB que pasa por el punto A'. Esto prueba el teorema recíproco.

Teorema 3.

Sean las rectas r, s y sean las rectas paralelas AA', BB' y CC' como se aprecia en la figura 3. Entonces tenemos la proporción

figura 3

Demostración.

En el punto C' trazamos la recta paralela a la recta r, tal como se ve en la figura 4. Esta recta corta a las paralelas AA' y BB' en los puntos A'' y B'', por tanto se verifica la igualdad de longitudes AB=A''B'' y BC=B''C'. Entonces podemos aplicar el teorema 1 para obtener la proporción

y esto prueba el teorema.

figura 4